Pochi concetti hanno attraversato la storia del pensiero come la sezione aurea. È nata come un problema di geometria pura, è diventata nel Rinascimento la «proporzione divina» e oggi viene citata ovunque, spesso a sproposito. Per comprenderla davvero conviene partire dalla definizione, separare ciò che è dimostrabile da ciò che è leggenda e solo allora chiedersi perché la tradizione esoterica vi abbia visto un simbolo dell'armonia tra le parti e il tutto.
La definizione: dividere un segmento in estrema e media ragione
Euclide, nel sesto libro degli Elementi, descrive il modo di dividere un segmento «in estrema e media ragione». Si tratta di tagliare una linea in due parti diseguali in modo che il rapporto tra l'intero e la parte maggiore sia uguale al rapporto tra la parte maggiore e la parte minore.
Questo rapporto è un numero preciso, indicato oggi con la lettera greca φ (phi):
- φ = (1 + √5) / 2, cioè circa 1,618;
- il suo inverso vale circa 0,618, ed è esattamente φ − 1;
- il suo quadrato vale circa 2,618, ed è esattamente φ + 1.
Nessun altro numero positivo ha questa proprietà: aggiungere uno equivale a elevare al quadrato, togliere uno equivale a capovolgere. È un numero che si genera da sé, e già questa caratteristica spiega in parte il fascino che ha esercitato.
Come si costruisce con riga e compasso
La sezione aurea non richiede calcoli: si traccia. Un procedimento classico per ottenere un rettangolo aureo è questo:
- disegna un quadrato;
- individua il punto medio di uno dei lati di base;
- punta il compasso su quel punto e apri fino a uno dei vertici opposti;
- traccia un arco fino a incontrare il prolungamento della base;
- chiudi il rettangolo: i suoi lati stanno tra loro nel rapporto aureo.
Il rettangolo così ottenuto ha una proprietà notevole: se se ne toglie il quadrato iniziale, ciò che resta è ancora un rettangolo aureo, più piccolo. Ripetendo l'operazione si ottiene una sequenza infinita di quadrati e rettangoli che si avvolgono verso un punto, la base della cosiddetta spirale aurea.
Il pentagono, la vera casa del numero aureo
Il luogo geometrico in cui la sezione aurea compare in modo più naturale è il pentagono regolare. Il rapporto tra la diagonale e il lato del pentagono è esattamente φ. Le diagonali, incrociandosi, formano la stella a cinque punte e si tagliano reciprocamente secondo la stessa proporzione; al centro nasce un nuovo pentagono, più piccolo e capovolto, in cui tutto si ripete.
È proprio questa ricorsività, il fatto che la figura contenga infinite copie di se stessa, ad aver suggerito ai pensatori antichi e medievali l'immagine di un ordine che si rispecchia a ogni livello.
Luca Pacioli e la «divina proporzione»
Il nome con cui la sezione aurea è entrata nella cultura europea si deve al frate e matematico Luca Pacioli, che nel 1509 pubblicò a Venezia il trattato De divina proportione, illustrato con i disegni dei poliedri realizzati da Leonardo da Vinci. Pacioli chiamava divina questa proporzione per ragioni teologiche: come Dio è uno e trino, così la proporzione lega tre termini in un'unica relazione; come Dio non può essere definito pienamente, così il numero non può essere espresso con una frazione esatta.
L'espressione «sezione aurea», invece, è molto più recente e si diffonde soltanto nell'Ottocento.
Ciò che è vero e ciò che è leggenda
Attorno al numero aureo si è formata una mitologia moderna che conviene trattare con rigore. Molte affermazioni ripetute non reggono a una misurazione attenta:
| Affermazione diffusa | Valutazione |
|---|---|
| Il pentagono regolare contiene φ | Vero, dimostrabile |
| La successione di Fibonacci tende a φ | Vero, dimostrabile |
| Il Partenone è progettato sulla sezione aurea | Non dimostrato |
| Ogni volto bello rispetta φ | Non dimostrato |
| Tutte le conchiglie a spirale sono auree | Falso nella maggior parte dei casi |
Un rettangolo di proporzioni vicine a 1,6 può sembrare aureo, ma vicino non significa uguale, e su un monumento si possono scegliere le misure in modo da ottenere quasi qualunque rapporto. Lo studioso serio di geometria sacra non ha bisogno di forzare i dati: il valore simbolico della proporzione non dipende dal fatto che compaia ovunque.
Il significato simbolico
Nella lettura tradizionale coltivata dallo Studio Esoterico Cornelio, la sezione aurea è soprattutto un'immagine di relazione armoniosa. Il tutto sta alla parte maggiore come la parte maggiore sta alla minore: ciò che è grande e ciò che è piccolo parlano la stessa lingua. È la traduzione geometrica dell'antico principio ermetico per cui ciò che è in basso corrisponde a ciò che è in alto.
C'è anche un secondo insegnamento, più sottile. φ è un numero irrazionale: non si lascia mai chiudere in una frazione definitiva. Si può approssimare sempre meglio, ma non possedere del tutto. In questo senso rappresenta bene il cammino interiore, che procede per approssimazioni successive verso un centro che non si raggiunge una volta per sempre.
In sintesi
- La sezione aurea divide un segmento in modo che l'intero stia alla parte maggiore come questa sta alla minore; il rapporto vale circa 1,618.
- Si costruisce con riga e compasso a partire da un quadrato e trova la sua espressione più naturale nel pentagono regolare.
- Il nome «divina proporzione» si deve a Luca Pacioli e al trattato del 1509 illustrato da Leonardo.
- Molte presenze attribuite al numero aureo in arte e natura non sono dimostrate e vanno verificate.
- Simbolicamente esprime la corrispondenza tra le parti e il tutto e un cammino che procede per approssimazioni.
