«Quadrare il cerchio» è diventato nel linguaggio comune sinonimo di riuscire in un'impresa difficile, quasi impossibile. L'espressione nasce da uno dei problemi più antichi della matematica e, nello stesso tempo, da uno dei simboli più profondi della geometria sacra. Capire perché i Greci non riuscirono a risolverlo, e perché nessuno ci riuscirà mai, aiuta a comprendere il valore che la tradizione ha attribuito a questa figura.
Il problema geometrico
Il problema è semplice da enunciare: dato un cerchio, costruire con la sola riga e il compasso un quadrato che abbia esattamente la stessa area. Nessuna misura, nessun calcolo approssimato: solo linee rette e circonferenze, tracciate in un numero finito di passaggi.
Era uno dei tre grandi problemi classici della geometria greca, insieme alla duplicazione del cubo e alla trisezione dell'angolo. Per secoli matematici di ogni epoca vi si dedicarono, e la sfida divenne così proverbiale che già Aristofane, nella commedia Gli uccelli, mette in scena l'astronomo Metone che pretende di quadrare il cerchio.
Perché è impossibile
La risposta definitiva arrivò solo nel 1882, quando il matematico tedesco Ferdinand von Lindemann dimostrò che il numero π è trascendente: non è soluzione di alcuna equazione algebrica a coefficienti interi. Poiché con riga e compasso si possono costruire solo lunghezze legate a certe equazioni algebriche, il lato del quadrato cercato, che dipende dalla radice quadrata di π, non è costruibile.
Questo non significa che non esistano approssimazioni eccellenti. Archimede, inscrivendo e circoscrivendo poligoni sempre più numerosi di lati, dimostrò che π è compreso tra 3 + 10/71 e 3 + 1/7. Ma un'approssimazione, per quanto fine, non è la soluzione esatta che il problema richiedeva.
Cerchio e quadrato: cielo e terra
Al di là della matematica, il cerchio e il quadrato sono due tra i simboli più universali:
| Figura | Qualità | Corrispondenze tradizionali |
|---|---|---|
| Cerchio | senza inizio né fine, ruota attorno al centro | cielo, spirito, eternità, movimento |
| Quadrato | stabile, orientato, misurabile | terra, materia, tempo ordinato, quattro direzioni |
Il cerchio non ha angoli: ogni punto della circonferenza è equidistante dal centro, nessuno è privilegiato. Il quadrato, invece, ha quattro lati e quattro angoli che richiamano i punti cardinali, le stagioni, gli elementi. In molte culture il cielo è stato immaginato rotondo e la terra quadrata, e numerose architetture sacre uniscono le due forme: una base quadrata sormontata da una cupola.
Quadrare il cerchio significa dunque, simbolicamente, tradurre lo spirito nella materia senza perdita: rendere misurabile l'infinito, dare forma terrena a ciò che è celeste.
Dante e il geometra che non trova
Il poeta che meglio ha colto il senso di questo limite è Dante. Negli ultimi versi del Paradiso, davanti al mistero dell'Incarnazione, si paragona al geometra che si concentra interamente per misurare il cerchio e non trova, pensando, il principio di cui ha bisogno:
Qual è 'l geomètra che tutto s'affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond' elli indige
L'impossibilità geometrica diventa l'immagine dei limiti della ragione davanti al divino. Il passo decisivo, per Dante, non viene dal calcolo ma da un lampo di grazia che colpisce la mente.
La quadratura nell'alchimia
Anche la tradizione alchemica ha fatto propria questa figura. Nell'Atalanta fugiens di Michael Maier, opera emblematica del primo Seicento, un'incisione mostra un uomo e una donna racchiusi in un cerchio, inscritto in un quadrato, a sua volta in un triangolo e infine in un cerchio più grande. Il motto invita a fare dell'uomo e della donna un cerchio, poi un quadrato, poi un triangolo, poi di nuovo un cerchio, per ottenere la pietra filosofale.
In questa lettura la quadratura non è un problema da risolvere con lo strumento, ma una sequenza di trasformazioni interiori: l'unione degli opposti, il loro radicamento nei quattro elementi, l'elevazione verso l'unità.
Le soluzioni simboliche
Se la soluzione esatta è impossibile, la tradizione ha elaborato soluzioni simboliche e approssimate che ricorrono nell'arte:
- il quadrato inscritto e circoscritto: il cerchio tra due quadrati, o il quadrato tra due cerchi, indica la tensione tra i due mondi;
- il mandala: il quadrato con quattro porte racchiuso nel cerchio rappresenta il cosmo ordinato attorno a un centro;
- la figura umana: il celebre disegno leonardesco ispirato a Vitruvio inserisce l'uomo contemporaneamente in un cerchio e in un quadrato, con centri diversi, facendo del corpo il luogo d'incontro.
L'insegnamento dell'impossibile
Il messaggio più prezioso della quadratura del cerchio è forse proprio la sua impossibilità. La tradizione dello Studio Esoterico Cornelio vi legge un invito all'umiltà: ci sono realtà che si possono avvicinare all'infinito senza mai possederle del tutto. Questo non rende vano lo sforzo; lo rende orientato. Il geometra che cerca il quadrato perfetto impara, nel frattempo, a costruire poligoni sempre più fini, e chi cerca l'armonia tra spirito e materia impara a riconoscerne le tracce nella vita quotidiana.
In sintesi
- La quadratura del cerchio chiede di costruire con riga e compasso un quadrato di area uguale a un cerchio dato.
- Nel 1882 Lindemann dimostrò che π è trascendente, rendendo il problema impossibile in senso esatto.
- Il cerchio simboleggia il cielo e lo spirito, il quadrato la terra e la materia.
- Dante usa l'immagine del geometra per esprimere i limiti della ragione davanti al mistero.
- Nell'alchimia e nell'arte la quadratura diventa una sequenza simbolica di trasformazioni interiori.
